Teorema di Fermat 2 Teorema di Fermat

L'ultimo teorema di Fermat (più correttamente definibile come ultima congettura di Fermat, non essendo dimostrata all'epoca), affermò che non esistono soluzioni intere positive all'equazione:

a^{n}+b^{n}=c^{n}

se n>2.

 

Storia

L'enunciato fu formulato da Pierre de Fermat nel 1637, il quale tuttavia non rese nota la dimostrazione che affermò di aver trovato. Scrisse in proposito, ai margini di una copia dell'Arithmetica di Diofanto di Alessandria sulla quale era solito formulare molte delle sue famose teorie:

"Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina"

Fermat ha dato realmente una dimostrazione?

La citazione in latino diceva:

(LA)

« Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. »

(IT)

«È impossibile separare un cubo in due cubi, o una potenza quarta in due potenze quarte, o in generale, tutte le potenze maggiori di 2 come somma della stessa potenza. Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina»

(Pierre de Fermat)

La dimostrazione

Utilizzando sofisticati strumenti della geometria algebrica (in particolare la teoria degli schemi), della teoria di Galois (in particolare le rappresentazioni di Galois), della teoria delle curve ellittiche e delle forme modulari (in particolare le proprietà dell'algebra di Hecke), Andrew Wiles, dell'università di Princeton, con l'aiuto del suo primo studente Richard Taylor, diede una dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat, pubblicata nel 1995 sulla rivista Annals of Mathematics. Nel 1986Ken Ribet aveva dimostrato la congettura epsilon di Gerhard Frey secondo la quale ogni controesempio a^{n}+b^{n}=c^{n}all'ultimo teorema di Fermat avrebbe prodotto una curva ellittica, definita come y^{2}=x(x-a^{n})(x+b^{n}),  che a sua volta fornirebbe un controesempio alla congettura di Taniyama-Shimura (una congettura che lega curve ellittiche e forme modulari).

Wiles dimostrò un caso speciale della congettura di Taniyama-Shimura, mostrando che quest'ultima congettura non può avere controesempi di tal tipo, dimostrando quindi il teorema di Fermat.

Wiles impiegò sette anni per risolvere quasi tutti i particolari, da solo e in assoluta segretezza (tranne una fase finale di revisione, per la quale si avvalse dell'aiuto di un suo collega di Princeton, Nicholas Katz). Quando, nel corso di tre conferenze tenute all'università di Cambridge tra il 21-23 giugno 1993, Wiles annunciò la dimostrazione, stupì per il gran numero di idee e tecniche usate. Dopo un controllo più attento fu però scoperto un serio errore che sembrava condurre al ritiro definitivo della dimostrazione.

Wiles trascorse circa un anno per rivedere la dimostrazione, avvalendosi anche dell'aiuto di Taylor, e nel settembre 1994 pubblicò la versione finale e corretta suddividendola in due articoli. Il primo, più corposo, contiene gran parte delle idee usate (e si basa su un approccio in parte diverso da quello usato per la prima dimostrazione integrando idee inizialmente scartate), mentre il secondo, scritto con Taylor, contiene un risultato tecnico necessario per concludere la dimostrazione.

Gli strumenti matematici utilizzati da Wiles e Taylor non erano conosciuti ai tempi di Fermat, quindi continua a sussistere il mistero – ed il dubbio – sulla dimostrazione che Fermat avrebbe potuto fornire.

Per ciò che concerne la mia ipotetica dimostrazione, mi sono convinto di rivelarla dato che era inclusa tra le pagine di un libro a suo tempo scritto da me che riportava i rapporti intercorsi con i miei genitori, dove tra le varie storie che ho raccontato, mischiavo faccende inerenti la matematica e la geometria. Ora credo che questa mia esposizione sia da riportare per intero, notando che tutto ciò che ho scritto, l’ho appreso dal mio Professore di matematica del liceo scientifico, Professor Rispoli. Si tratta in particolare di applicare le equazioni esponenziali, con i vari passaggi e sviluppi, tutto qui, arrivando alla conclusione che sia a ᵑ che b ᵑ che c ᵑ siano uguali a zero.

Ingegner Francesco Conti

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